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#陶哲轩 #数学 #AI #辅助 #CoT
分享一个视频：https://www.youtube.com/watch?v=e049IoFBnLA
B站地址：
https://bilibili.com/video/BV1kssseFE6X
视频内容为：陶哲轩（美籍华人，数学界最高荣誉、菲尔兹奖获得者）在IMO 2024暨65界国际数学奥林匹亚会议上的演讲
主要内容：
1. 我们使用机器做数学计算已经有数千年，最早的机器辅助计算可能是罗马人，然后是中国的算盘
2. 二战时就有人肉“计算机”，计算弹道和其他任务，多位女孩子，因为男士们在打仗，所以那时候的计算基本单位不是GPU，而是kilogirl-hour——“千名女孩工作一小时的计算量”
3. 现在，数学家们使用一种现代化的证明辅助编程语言，叫做 Lean。在 Lean 中有一个核心的数学库，通过众包的方式开发的，本科数学课程中看到的内容，比如微积分基础、群论基础或者拓扑学等等，这些都已经被形式化了，所以你不用从公理开始。
4. 现在数学领域有一种团队协作证明复杂数学定理的工作流程，那就是先编写一个称为“蓝图”的详细证明计划，将整个证明分解为数百个小步骤。每个步骤可以单独形式化，然后再将它们整合在一起，这样你就可以将一个庞大的论证分解成许多小块。先编写这个蓝图，然后团队中的其他人可以对论据的不同步骤的不同部分进行形式化。
去年，陶哲轩和几位同事一起解决了一个组合数学问题。这是一个组合学的问题。大约20人在短短三周内完成了，使用了蓝图工具，参与的人中有概率论专家，甚至还有一些并非数学家的人，他们是程序员，但在解决这些小型拼图问题上非常擅长。每个人都挑选了一个觉得自己能做的小任务，并完成了它。
在数学领域，通常很难这么多人一起合作，一般最多可能五个人合作。因为在大项目上合作时，你必须相信每个人的数学都是正确的。但是，一旦超过一定规模，这就无法实现了。但现在借助 Lean 编译器，它能自动检查。团队成员无法上传任何编译不通过的内容，会被拒绝。因此，你可以与一些从未见过的人合作。
5.最后是讲大语言模型，首先陶哲轩就打脸了 GPT-4 的论文（我猜是微软那篇《GPT-4，通用人工智能的火花》），论文中号称 GPT-4 能解决国际数学奥林匹克问题，但实际上，这个问题不是 2022 年国际奥数竞赛的原始问题，而是一个简化版本，并且他们测试了几百道国际奥数竞赛问题，成功率只有1%，论文里的这个是精心挑选的恰巧能做对的。
6.陶哲轩提到了基于大语言模型的一些改进的方案：
比如 CoT（Chain of Thought），也就是 LLM 做简单的算术运算都做不对，但是如果让它一步步解释，可能就对了。还可以教 AI 一些解题技巧，比如尝试简单的例子，反证法，尝试逐步证明等。
比如让模型和编程语言或者工具连接，将大语言的输出结果交给 Wolfram 这样的专业数学工具或者 Python 这样的编程语言验证，并且迭代的进行修正和验证，直到得到正确的结果，这可以提升大语言模型生成的效果。
即使借助这些手段，大语言模型还远远不能解决大多数数学问题，更不用说数学研究问题了！
7.当然陶哲轩也没太过打击大家对于 AI 的信心，表示我们在 AI 上还是在不断的取得进展，还提到了他日常是怎么用 AI 的，比如说把 AI 当成灵感之源。
> 我曾遇到过一个问题，我尝试了几种方法，但都无法解决。于是，我尝试询问 GPT，你建议我使用什么其他方法来解决这个问题？GPT 给我提供了 10 种可能的方法，其中有 5 种我已经尝试过，或者明显没有帮助。的确，有几种方法并不实用。但其中有一种我还没尝试过的方法，那就是针对这个问题使用生成函数。当 GPT 建议我使用这种方法时，我意识到这就是我漏掉的正确方法。所以，将 GPT 视为一个交流伙伴，它确实具有一定的用处。
还有使用 GitHub Copilot 帮他写代码，让它自动生成下一步的证明结果，Copilot 的智能提示有 20% 的概率能生成正确的下一步结果。
> 例如我使用的一个叫 GitHub Copilot 的工具，你只需要写下一半的证明，它就会尝试猜测接下来的内容。大概有 20% 的情况下，它能猜到接近正确的答案。然后你就可以说，我接受这个答案。好的，那么在这种情况下，我正在试图证明这个陈述。灰色的部分是 Copilot 给出的建议。结果发现第一行完全没用。不过第二行，尽管你可能看不清楚，却真的解决了这个问题。所以，你不能盲目接受它的输入，因为这些代码未必能顺利编译。但如果你对代码的运作方式已经有所了解，这将大大节省你的时间。这些工具正在变得越来越好。现在如果一个证明只需要一两行，它们就能自动完成。现在已经有了这样的实验，即通过迭代地让 AI 提供证明，然后让编译器进行反馈，如果编译出错，就把错误信息反馈给 AI。通过这种方法，我们开始能够验证四五步长的证明。当然，一个大型的证明可能需要数万行。所以，我们还没有达到能够立即得到一个正式证明的程度。但是，这已经是一个相当有用的工具。
8.对于大家关心的问题： AI 在数学领域现在到了哪一个阶段？是否未来几年利用 AI 能直接解决数学问题？
陶哲轩也给出了他的看法：
> 我认为我们还远远没有达到这个阶段。如果我们专注于非常特定的问题，你可以定制专门的 AI 来处理一小部分问题。即便如此，它们也不是完全可靠的，但还是有用的。不过至少在接下来的几年里，它们基本上将是非常有用的辅助工具，超越了我们已经熟悉的暴力计算辅助。
他还提到了一些可能的 AI 能在数学领域提供帮助的方向：
- AI 能够非常好地生成有价值的猜想
> 比如，我们已经看到了关于结理论的例子，它们已经可以推测出两个不同的统计量之间的关系。因此，我们希望能够创建大量的数据集，输入到 AI 中，它们就会自动找出各种不同的数学对象之间的有趣联系。虽然我们还不知道如何做到这一点，部分原因是我们没有这些庞大的数据集。但我认为这是未来可能实现的一个方向。
- 批量或者说规模化的证明大量数学定理
> 现在，因为证明定理是如此繁琐和艰难的过程，我们一次只能证明一个定理，如果你效率很高，可能一次能证明两三个。但是有了 AI，你可以设想一下未来的情况，我们不是试图解决一个问题，而是处理一类类似的1000个问题，然后告诉AI，尝试用这个方法解决这 1000 个问题，然后报告结果，哦，我能用这种技术解决 35% 的问题。那么另一种技术呢？我能解决这个百分比的问题。或者如果结合这些方法，又能解决多少问题？你可以开始探索问题的空间，而不是一个接一个地解决问题。这是你现在根本无法做到的事情，或者是你需要几十年时间，通过数十篇论文慢慢搞清楚各种技术能做什么，不能做什么。但是有了这些工具，你真的可以开始做规模前所未有的数学研究。所以，未来将会非常令人兴奋。
9.演讲环节结束前的最后一句话说的特别好：
> 我们仍然会以传统方式证明定理。事实上，我们必须这样做，因为如果我们自己都不知道如何做这些事情，就无法引导这些 AI。但是我们将能够做很多现在无法做到的事情。
这恰恰也是我们现在使用 AI 辅助编程的问题：如果我们自己都不知道如何构建软件，就很难引导好 AI 帮助我们生成高质量的代码。
尽管 AI 在数学和编程领域变得越来越有用，但人类的洞察力和创造力仍然是创作价值的关键。
总结的内容源自宝玉大佬 的总结。
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视频内容为：陶哲轩（美籍华人，数学界最高荣誉、菲尔兹奖获得者）在IMO 2024暨65界国际数学奥林匹亚会议上的演讲
主要内容：
1. 我们使用机器做数学计算已经有数千年，最早的机器辅助计算可能是罗马人，然后是中国的算盘
2. 二战时就有人肉“计算机”，计算弹道和其他任务，多位女孩子，因为男士们在打仗，所以那时候的计算基本单位不是GPU，而是kilogirl-hour——“千名女孩工作一小时的计算量”
3. 现在，数学家们使用一种现代化的证明辅助编程语言，叫做 Lean。在 Lean 中有一个核心的数学库，通过众包的方式开发的，本科数学课程中看到的内容，比如微积分基础、群论基础或者拓扑学等等，这些都已经被形式化了，所以你不用从公理开始。
4. 现在数学领域有一种团队协作证明复杂数学定理的工作流程，那就是先编写一个称为“蓝图”的详细证明计划，将整个证明分解为数百个小步骤。每个步骤可以单独形式化，然后再将它们整合在一起，这样你就可以将一个庞大的论证分解成许多小块。先编写这个蓝图，然后团队中的其他人可以对论据的不同步骤的不同部分进行形式化。
去年，陶哲轩和几位同事一起解决了一个组合数学问题。这是一个组合学的问题。大约20人在短短三周内完成了，使用了蓝图工具，参与的人中有概率论专家，甚至还有一些并非数学家的人，他们是程序员，但在解决这些小型拼图问题上非常擅长。每个人都挑选了一个觉得自己能做的小任务，并完成了它。
在数学领域，通常很难这么多人一起合作，一般最多可能五个人合作。因为在大项目上合作时，你必须相信每个人的数学都是正确的。但是，一旦超过一定规模，这就无法实现了。但现在借助 Lean 编译器，它能自动检查。团队成员无法上传任何编译不通过的内容，会被拒绝。因此，你可以与一些从未见过的人合作。
5.最后是讲大语言模型，首先陶哲轩就打脸了 GPT-4 的论文（我猜是微软那篇《GPT-4，通用人工智能的火花》），论文中号称 GPT-4 能解决国际数学奥林匹克问题，但实际上，这个问题不是 2022 年国际奥数竞赛的原始问题，而是一个简化版本，并且他们测试了几百道国际奥数竞赛问题，成功率只有1%，论文里的这个是精心挑选的恰巧能做对的。
6.陶哲轩提到了基于大语言模型的一些改进的方案：
比如 CoT（Chain of Thought），也就是 LLM 做简单的算术运算都做不对，但是如果让它一步步解释，可能就对了。还可以教 AI 一些解题技巧，比如尝试简单的例子，反证法，尝试逐步证明等。
比如让模型和编程语言或者工具连接，将大语言的输出结果交给 Wolfram 这样的专业数学工具或者 Python 这样的编程语言验证，并且迭代的进行修正和验证，直到得到正确的结果，这可以提升大语言模型生成的效果。
即使借助这些手段，大语言模型还远远不能解决大多数数学问题，更不用说数学研究问题了！
7.当然陶哲轩也没太过打击大家对于 AI 的信心，表示我们在 AI 上还是在不断的取得进展，还提到了他日常是怎么用 AI 的，比如说把 AI 当成灵感之源。
> 我曾遇到过一个问题，我尝试了几种方法，但都无法解决。于是，我尝试询问 GPT，你建议我使用什么其他方法来解决这个问题？GPT 给我提供了 10 种可能的方法，其中有 5 种我已经尝试过，或者明显没有帮助。的确，有几种方法并不实用。但其中有一种我还没尝试过的方法，那就是针对这个问题使用生成函数。当 GPT 建议我使用这种方法时，我意识到这就是我漏掉的正确方法。所以，将 GPT 视为一个交流伙伴，它确实具有一定的用处。
还有使用 GitHub Copilot 帮他写代码，让它自动生成下一步的证明结果，Copilot 的智能提示有 20% 的概率能生成正确的下一步结果。
> 例如我使用的一个叫 GitHub Copilot 的工具，你只需要写下一半的证明，它就会尝试猜测接下来的内容。大概有 20% 的情况下，它能猜到接近正确的答案。然后你就可以说，我接受这个答案。好的，那么在这种情况下，我正在试图证明这个陈述。灰色的部分是 Copilot 给出的建议。结果发现第一行完全没用。不过第二行，尽管你可能看不清楚，却真的解决了这个问题。所以，你不能盲目接受它的输入，因为这些代码未必能顺利编译。但如果你对代码的运作方式已经有所了解，这将大大节省你的时间。这些工具正在变得越来越好。现在如果一个证明只需要一两行，它们就能自动完成。现在已经有了这样的实验，即通过迭代地让 AI 提供证明，然后让编译器进行反馈，如果编译出错，就把错误信息反馈给 AI。通过这种方法，我们开始能够验证四五步长的证明。当然，一个大型的证明可能需要数万行。所以，我们还没有达到能够立即得到一个正式证明的程度。但是，这已经是一个相当有用的工具。
8.对于大家关心的问题： AI 在数学领域现在到了哪一个阶段？是否未来几年利用 AI 能直接解决数学问题？
陶哲轩也给出了他的看法：
> 我认为我们还远远没有达到这个阶段。如果我们专注于非常特定的问题，你可以定制专门的 AI 来处理一小部分问题。即便如此，它们也不是完全可靠的，但还是有用的。不过至少在接下来的几年里，它们基本上将是非常有用的辅助工具，超越了我们已经熟悉的暴力计算辅助。
他还提到了一些可能的 AI 能在数学领域提供帮助的方向：
- AI 能够非常好地生成有价值的猜想
> 比如，我们已经看到了关于结理论的例子，它们已经可以推测出两个不同的统计量之间的关系。因此，我们希望能够创建大量的数据集，输入到 AI 中，它们就会自动找出各种不同的数学对象之间的有趣联系。虽然我们还不知道如何做到这一点，部分原因是我们没有这些庞大的数据集。但我认为这是未来可能实现的一个方向。
- 批量或者说规模化的证明大量数学定理
> 现在，因为证明定理是如此繁琐和艰难的过程，我们一次只能证明一个定理，如果你效率很高，可能一次能证明两三个。但是有了 AI，你可以设想一下未来的情况，我们不是试图解决一个问题，而是处理一类类似的1000个问题，然后告诉AI，尝试用这个方法解决这 1000 个问题，然后报告结果，哦，我能用这种技术解决 35% 的问题。那么另一种技术呢？我能解决这个百分比的问题。或者如果结合这些方法，又能解决多少问题？你可以开始探索问题的空间，而不是一个接一个地解决问题。这是你现在根本无法做到的事情，或者是你需要几十年时间，通过数十篇论文慢慢搞清楚各种技术能做什么，不能做什么。但是有了这些工具，你真的可以开始做规模前所未有的数学研究。所以，未来将会非常令人兴奋。
9.演讲环节结束前的最后一句话说的特别好：
> 我们仍然会以传统方式证明定理。事实上，我们必须这样做，因为如果我们自己都不知道如何做这些事情，就无法引导这些 AI。但是我们将能够做很多现在无法做到的事情。
这恰恰也是我们现在使用 AI 辅助编程的问题：如果我们自己都不知道如何构建软件，就很难引导好 AI 帮助我们生成高质量的代码。
尽管 AI 在数学和编程领域变得越来越有用，但人类的洞察力和创造力仍然是创作价值的关键。
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推荐一款Hosts管理工具：Switch Host
项目简介：SwitchHosts，是一款可以方便地管理自己电脑的Hosts的软件；支持本地添加Hosts和一键添加可在线更新Hosts的服务；提供Windows、MacOS平台支持。
项目地址：https://github.com/oldj/SwitchHosts/releases （该作者还开发了妙笔生花WonderPen 等软件）
补充资源：
我收集的、可在线更新Hosts的服务（可复制Hosts，直接使用）
Github Hosts（三选一即可）：
https://hosts.gitcdn.top/hosts.txt
https://raw.hellogithub.com/hosts
https://gitlab.com/ineo6/hosts/-/raw/master/hosts
Onedrive Hosts：
https://onedrive-hosts.learningman.top
更多请关注耕读博客。
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#软件 #下载 #方法 #Google #Windows #Mac #Copilot #AI #秘塔搜 #网站 #推荐
1.无论是MacOS还是Windows系统，大家尽量安装官方的系统、软件，如Windows、Office（可选官方正版或MSDN版）、PS等，可以相对提高电脑的安全性，也支持软件开发者，尊重其智慧和辛劳；
2. 如需特别版的软件，可以遵循的原则是：开源、信誉好的软件、项目优先考虑； 优先使用Google或人工智能服务探索所需软件：
通常通过谷歌探索所需软件即可获得，如 “office 2021 mac download”，就可以发现微软官方下载链接 ，苹果官方下载地址 ，以及第三方提供的可以下载并激活Mac office的Github开源项目，专门提供Office mac下载和激活的第三方网站 https://macadmins.software/ 这四个网址都可以下载，后面两个都可以激活，而且信誉都非常好。
另外一种方法，就是通过微软的Copilot人工智能服务询问，她通常会给出下载链接；还有一种，就是通过秘塔搜 （ https://metaso.cn/ ）人工智能来搜索软件，在国内软件上，应该有一定的优势。（可靠性暂时不如谷歌的核定）
3. 不太推荐的下载软件的方式
部分大佬出于学习、研究需要，或为了改善软件等，破解并分享了一些软件，供大家学习、交流使用，根据我使用经验和目前可用的网站，暂提供几个常用的Windows软件下载地址：
- 擅长探索的高木同学（TG频道，比较可信）
- m0nkrus 官网（Windows软件，比较可信，下载需注册；Mac软件，比较可信的团队包括TNT 或HCiSO）
- http://www.th-sjy.com/ （比较可信）
- https://software.nite07.com/ （比较可信）
- https://www.ypojie.com/ （比较可信）
- https://masuit.org/ （懒得勤快官网，TG频道：https://t.me/ldqk2 ；可信度未知）
- Anti_MKD （TG频道，为较少的几款软件提供更新；可信度未知）
- https://www.423down.com/ （据悉信誉不好，不太建议）
- https://ruanjianku.cloud/ （8度科技大佬的网站，根据频道内容推测，不太建议）
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1.无论是MacOS还是Windows系统，大家尽量安装官方的系统、软件，如Windows、Office（可选官方正版或MSDN版）、PS等，可以相对提高电脑的安全性，也支持软件开发者，尊重其智慧和辛劳；
2. 如需特别版的软件，可以遵循的原则是：开源、信誉好的软件、项目优先考虑； 优先使用Google或人工智能服务探索所需软件：
通常通过谷歌探索所需软件即可获得，如 “office 2021 mac download”，就可以发现微软官方下载链接 ，苹果官方下载地址 ，以及第三方提供的可以下载并激活Mac office的Github开源项目，专门提供Office mac下载和激活的第三方网站 https://macadmins.software/ 这四个网址都可以下载，后面两个都可以激活，而且信誉都非常好。
另外一种方法，就是通过微软的Copilot人工智能服务询问，她通常会给出下载链接；还有一种，就是通过秘塔搜 （ https://metaso.cn/ ）人工智能来搜索软件，在国内软件上，应该有一定的优势。（可靠性暂时不如谷歌的核定）
3. 不太推荐的下载软件的方式
部分大佬出于学习、研究需要，或为了改善软件等，破解并分享了一些软件，供大家学习、交流使用，根据我使用经验和目前可用的网站，暂提供几个常用的Windows软件下载地址：
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#Mac #OS #苹果电脑 #软件 #常用 #下载 #推荐
分享几个MacOS软件下载地址，安全性待检验(个人学习用，欢迎大佬提出意见和建议)：
https://xmac.app/ （可用，已验证）
https://nmac.to/ （可用，已验证）
https://haxmac.cc/ （可用，已验证）
https://appstorrent.ru/ （可用，已验证）
https://www.torrentmac.net （可用，已验证）
https://xclient.info/ （蓝奏云，城通云下载；可用，已验证）
https://macwk.cn/ （更新快、全面；存放在夸克网盘；需夸克网盘下载，未验证）
https://macapp.org.cn/ （多个网盘下载；有的需要注册登录）
https://cmacked.com/ （1年未更新，之前的还可以用）
https://www.minorpatch.com/ （Onedrive下载密码：minor 或 digit77 ；文件解压密码： minorpatch.com 或 digit77.com，已验证）
https://www.ypojie.com/pc/macos （软件收录较少，多个网盘下载方式，可用性未验证）
https://maczz.net/ （123网盘，未验证）
https://macbang.net/ （需注册登录，未验证）
https://macenjoy.net/ （城通网盘，未验证）
https://www.macbl.com/ （城通网盘，未验证）
https://www.macdo.cn/ （需注册登录，部分需要付费下载）
https://www.macappbox.com/ （需登录、好的软件需付费下载，未验证）
——————
https://github.com/TrialMacApp/TrialMacApp (延长试用来使用正版软件)
https://appwall.today/ ( 限免或减免)
https://free.apprcn.com/category/mac/ ( 限免或减免)
https://macked.app/ （需注册登录下载）
——————
最佳Mac软件（Awesome Macos Software）：
https://github.com/jaywcjlove/awesome-mac/
https://github.com/iCHAIT/awesome-macOS
https://github.com/qianguyihao/Mac-list
——————
Mac软件测评
https://www.waerfa.com/category/review/mac-app-review
https://sspai.com/tag/Mac
——————
Macos工具
Mist： https://github.com/ninxsoft/Mist （MacOS下载工具；Macos系统尽量用App Store下载、定制U盘启动盘+安装的方式装系统；另一个网站Sysin提供了百度云盘下载Macos的方式；（该站提供了MacOS等教程和各个版本Macos的系统下载 ，尽量用官方的系统））
OpenCore Legacy Patcher： https://github.com/dortania/OpenCore-Legacy-Patcher （让Macos电脑，通过安装软件的方式，跳过官方限制，升级到新的系统，参考Sysin的教程 ）。
参考这里 、这里 和这里。
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https://www.macappbox.com/ （需登录、好的软件需付费下载，未验证）
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Mist： https://github.com/ninxsoft/Mist （MacOS下载工具；Macos系统尽量用App Store下载、定制U盘启动盘+安装的方式装系统；另一个网站Sysin提供了百度云盘下载Macos的方式；（该站提供了MacOS等教程和各个版本Macos的系统下载 ，尽量用官方的系统））
OpenCore Legacy Patcher： https://github.com/dortania/OpenCore-Legacy-Patcher （让Macos电脑，通过安装软件的方式，跳过官方限制，升级到新的系统，参考Sysin的教程 ）。
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分享一个一键部署自己的网盘探索服务：爱盼
爱盼，是一个免费开源的、网盘探索服务的项目；目前可以通过Vercel一键部署。
项目网址：https://github.com/unilei/aipan-netdisk-search
Demo网址： https://www.kkwnhub.com
感兴趣的，可以自行部署。记得给该项目主一个Star，支持开源项目。
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类似于OpenAI的DALL-E3的文生图服务Midjourney现在开放用户注册使用，用户目前可以体验基础班，每周25张画；画质优美，堪称大师级（配图为MidJourney生成的图片）。
网址：http://midjourney.com/
说明：注册时仅支持Gmail账号或Discord账号来注册MidJourney账号。
目前，免费用户也可以使用OpenAI的DALL-E3。登录ChatGPT.com，使用ChatGPT 4o mini，每天可以免费画2张图。
更多AI资讯，参考 https://www.sumeai.com
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